c 中汉诺塔问题怎么解决-mile米乐体育

c 中汉诺塔问题怎么解决

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openjudge6261 汉诺塔问题

描述

有一种智力玩具，在一块铜板上有三根杆，最左边的杆上自上而下、由小到大顺序串着由n个圆盘构成的塔。目的是将最左边杆上的盘全部移到中间的杆上，条件是一次只能移动一个盘，且不允许大盘放在小盘的上面。这就是著名的汉诺塔问题。

假定圆盘从小到大编号为1，2，3，……

输入

输入为一个整数后面跟三个单字符字符串。

整数为盘子的数目，后三个字符表示三个杆子的编号。

输出

输出每一步移动盘子的记录。一次移动一行。

每次移动的记录为例如 a->3->b 的形式，即把编号为3的盘子从a杆移至b杆。

样例输入

2 a b c

样例输出

a->1->c
a->2->b
c->1->b

汉诺塔问题

汉诺塔问题的解决算法是一种经典的分治算法，而分治算法最重要的三个步骤：

1. 分解：如果说我们要将num个盘子从原柱子l通过过渡柱子mid移动到目标柱子r，那么我们可以先把上面的(num - 1)个盘子从原柱子l移动到过渡柱子mid，之后再把编号num的这个盘子移动到目标柱子r上，最后再把那(num - 1)个盘子从过渡柱子mid移动到目标柱子r，就成功了。
   

2. 解决：用递归分别再去解决子问题并输出。（边界条件：当只有一个盘子既num == 1时，直接输出就好了）。
   

3. 合并：递归回来的就是结果了，不用再合并。
   

简而言之，就是每次我们把第num个盘子单独看成一个整体，剩下(num - 1)个盘子看成一个整体，之后对这两个整体分别去进行移动，使其到达目标位置。

最后算一下时间复杂度，这里稍微有些难算。

假设i个盘子从一根柱子移动到另一根柱子需要step(i)步

对于一个单独的塔，程序会进行以下操作：

1. 将上面的(n - 1)个盘子移动到过渡柱子，次数为step(n - 1)。

2. 将第n个盘子移动到目标柱子，次数为1。

3. 将过渡柱子上的(n - 1)个盘子移动到目标柱子，次数为step(n - 1)。
   

则可以得到递推式

step(n) = 2 * step(n - 1) 1

之后不停地递推下去，就会得到

step(n) = 2^n * step(0) 2^(n - 1) 2^(n - 2) ...... 2^1 2^0

又因为0个盘子根本不用移，所以step(0) = 0

所以step(n) = 2^(n - 1) 2^(n - 2) ...... 2^1 2^0

之后用等比数列的公式就可以推出：step(n) = 2^n^ - 1

我们发现移动次数为2^n^ - 1，实际上这也是汉诺塔问题最少的移动次数。所以最后得出解决汉诺塔问题的算法时间复杂度为o(2^n^)。

代码

#include#include#include#include#includeusingnamespacestd;intn;chara,b,c;//hanoi(num,l,mid,r)表示需要将num个盘子从柱子l通过柱子mid移动到柱子r。voidhanoi(intnum,charl,charmid,charr){if(num==1)printf("%c->%d->%c\n",l,num,r);else{hanoi(num-1,l,r,mid);printf("%c->%d->%c\n",l,num,r);hanoi(num-1,mid,l,r);}}intmain(){scanf("%d",&n);cin>>a>>b>>c;hanoi(n,a,c,b);//这里因为题目中是让所有盘子从左面的柱子移动到中间的柱子，既从a到b。return0;}

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